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逻辑回归 ​

逻辑回归把一条直线掰成 S 形曲线，用概率回答是非题。

类型： Build 语言： Python 前置要求： 阶段 2 第 1-2 课（什么是 ML、线性回归） 预计时间： ~90 分钟

学习目标 ​

  • 用 sigmoid 函数和二元交叉熵损失从零实现逻辑回归
  • 为二分类计算并解读精确率、召回率、F1 分数和混淆矩阵
  • 解释为什么 MSE 对分类失效，以及为什么二元交叉熵能产生凸的代价曲面
  • 构建一个多分类的 softmax 回归模型，并评估阈值调节带来的权衡

问题背景 ​

你想根据肿瘤的大小预测它是恶性还是良性。你试了线性回归，它输出 0.3、1.7、-0.5 这样的数字。这些是什么意思？1.7 是"非常恶性"吗？-0.5 是"非常良性"吗？线性回归输出的是无界的数字。分类需要的是 0 到 1 之间有界的概率，以及一个明确的决策：是，还是否。

逻辑回归解决了这个问题。它取同样的线性组合（wx + b），让它穿过 sigmoid 函数，把任意数字挤进 (0, 1) 区间。输出就是一个概率。你设一个阈值（通常 0.5）做出决策。

这是实践中用得最广的算法之一。别被名字骗了，逻辑回归是分类算法，不是回归算法。名字来自它用的 logistic（sigmoid）函数。

核心概念 ​

为什么线性回归做分类会失败 ​

设想根据学习时长预测通过/挂科（1/0）。线性回归在数据里拟合一条线：

hours:  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
actual: 0   0   0   0   1   1   1   1   1   1

线性拟合可能在第 1 小时给出 -0.2、第 10 小时给出 1.3 这样的预测。这些值不是概率，它们低于 0、高于 1。更糟的是，一个离群点（某个学了 50 小时的人）会把整条线都拽歪，改变所有人的预测。

分类需要一个这样的函数：

  • 输出 0 到 1 之间的值（概率）
  • 产生一个陡峭的转变（决策边界）
  • 不被远离边界的离群点扭曲

Sigmoid 函数 ​

sigmoid 函数正好干这个：

sigmoid(z) = 1 / (1 + e^(-z))

性质：

  • z 是大的正数时，sigmoid(z) 趋近 1
  • z 是大的负数时，sigmoid(z) 趋近 0
  • z = 0 时，sigmoid(z) = 0.5
  • 输出始终在 0 和 1 之间
  • 函数处处光滑可微

它的导数有一个方便的形式：sigmoid'(z) = sigmoid(z) * (1 - sigmoid(z))。这让梯度计算很高效。

逻辑回归 = 线性模型 + Sigmoid ​

模型先算 z = wx + b（和线性回归一样），再套 sigmoid：

mermaid
flowchart LR
    X[输入特征 x] --> L["线性：z = wx + b"]
    L --> S["Sigmoid：p = 1/(1+e^-z)"]
    S --> D{"p >= 0.5？"}
    D -->|是| P[预测 1]
    D -->|否| N[预测 0]

输出 p 被解释为 P(y=1 | x)，即输入属于类别 1 的概率。决策边界在 wx + b = 0 处，此时 sigmoid 正好输出 0.5。

二元交叉熵损失 ​

逻辑回归不能用 MSE。MSE 配上 sigmoid 会产生非凸的代价曲面，有许多局部极小值。要改用二元交叉熵（对数损失）：

Loss = -(1/n) * sum(y * log(p) + (1-y) * log(1-p))

它为什么管用：

  • y=1 且 p 接近 1 时：log(1) = 0，损失接近 0（预测对，代价低）
  • y=1 且 p 接近 0 时：log(0) 趋向负无穷，损失巨大（预测错，代价高）
  • y=0 且 p 接近 0 时：log(1) = 0，损失接近 0（预测对，代价低）
  • y=0 且 p 接近 1 时：log(0) 趋向负无穷，损失巨大（预测错，代价高）

对逻辑回归来说，这个损失函数是凸的，保证有唯一的全局最小值。

逻辑回归的梯度下降 ​

sigmoid 配二元交叉熵的梯度有一个干净的形式：

dL/dw = (1/n) * sum((p - y) * x)
dL/db = (1/n) * sum(p - y)

这看起来和线性回归的梯度一模一样。区别在于 p = sigmoid(wx + b)，而不是 p = wx + b。sigmoid 引入了非线性，但梯度更新规则不变。

mermaid
flowchart TD
    A[初始化 w=0, b=0] --> B[前向：z = wx+b, p = sigmoid z]
    B --> C[计算损失：二元交叉熵]
    C --> D["计算梯度：dw = (1/n) * sum((p-y)*x)"]
    D --> E[更新：w = w - lr*dw, b = b - lr*db]
    E --> F{收敛了吗？}
    F -->|否| B
    F -->|是| G[模型训练完成]

决策边界 ​

对于二维输入（两个特征），决策边界是这条线：

w1*x1 + w2*x2 + b = 0

一侧的点被分为 1，另一侧的点被分为 0。逻辑回归总是产生线性决策边界。如果你需要弯曲的边界，要么加多项式特征，要么用非线性模型。

用 Softmax 做多分类 ​

二元逻辑回归处理两个类。对于 k 个类，用 softmax 函数：

softmax(z_i) = e^(z_i) / sum(e^(z_j) for all j)

每个类有自己的权重向量。模型为每个类算一个分数 z_i，softmax 把分数转换成加起来等于 1 的概率。预测的类就是概率最高的那个。

损失函数变成分类交叉熵：

Loss = -(1/n) * sum(sum(y_k * log(p_k)))

其中 y_k 对真实类为 1、对所有其他类为 0（one-hot 编码）。

评估指标 ​

光看准确率不够。对于一个 95% 负、5% 正的数据集，一个永远预测负的模型能拿 95% 准确率，但毫无用处。

混淆矩阵：

预测为正预测为负
实际为正真正例 (TP)假负例 (FN)
实际为负假正例 (FP)真负例 (TN)

精确率：在所有预测为正的里，有多少真的是正？

Precision = TP / (TP + FP)

召回率（灵敏度）：在所有真正为正的里，我们抓到了多少？

Recall = TP / (TP + FN)

F1 分数：精确率和召回率的调和平均，平衡两个指标。

F1 = 2 * (Precision * Recall) / (Precision + Recall)

什么时候优先看哪个：

  • 精确率：当假正例代价高时（垃圾邮件过滤器，你不想拦住正常邮件）
  • 召回率：当假负例代价高时（癌症筛查，你不想漏掉肿瘤）
  • F1：当你需要一个平衡的单一指标时
figure
logistic-sigmoid

动手构建 ​

第 1 步：sigmoid 函数和数据生成 ​

python
import random
import math

def sigmoid(z):
    z = max(-500, min(500, z))
    return 1.0 / (1.0 + math.exp(-z))

random.seed(42)
N = 200
X = []
y = []

for _ in range(N // 2):
    X.append([random.gauss(2, 1), random.gauss(2, 1)])
    y.append(0)

for _ in range(N // 2):
    X.append([random.gauss(5, 1), random.gauss(5, 1)])
    y.append(1)

combined = list(zip(X, y))
random.shuffle(combined)
X, y = zip(*combined)
X = list(X)
y = list(y)

print(f"Generated {N} samples (2 classes, 2 features)")
print(f"Class 0 center: (2, 2), Class 1 center: (5, 5)")
print(f"First 5 samples:")
for i in range(5):
    print(f"  Features: [{X[i][0]:.2f}, {X[i][1]:.2f}], Label: {y[i]}")

第 2 步：从零实现逻辑回归 ​

python
class LogisticRegression:
    def __init__(self, n_features, learning_rate=0.01):
        self.weights = [0.0] * n_features
        self.bias = 0.0
        self.lr = learning_rate
        self.loss_history = []

    def predict_proba(self, x):
        z = sum(w * xi for w, xi in zip(self.weights, x)) + self.bias
        return sigmoid(z)

    def predict(self, x, threshold=0.5):
        return 1 if self.predict_proba(x) >= threshold else 0

    def compute_loss(self, X, y):
        n = len(y)
        total = 0.0
        for i in range(n):
            p = self.predict_proba(X[i])
            p = max(1e-15, min(1 - 1e-15, p))
            total += y[i] * math.log(p) + (1 - y[i]) * math.log(1 - p)
        return -total / n

    def fit(self, X, y, epochs=1000, print_every=200):
        n = len(y)
        n_features = len(X[0])
        for epoch in range(epochs):
            dw = [0.0] * n_features
            db = 0.0
            for i in range(n):
                p = self.predict_proba(X[i])
                error = p - y[i]
                for j in range(n_features):
                    dw[j] += error * X[i][j]
                db += error
            for j in range(n_features):
                self.weights[j] -= self.lr * (dw[j] / n)
            self.bias -= self.lr * (db / n)
            loss = self.compute_loss(X, y)
            self.loss_history.append(loss)
            if epoch % print_every == 0:
                print(f"  Epoch {epoch:4d} | Loss: {loss:.4f} | w: [{self.weights[0]:.3f}, {self.weights[1]:.3f}] | b: {self.bias:.3f}")
        return self

    def accuracy(self, X, y):
        correct = sum(1 for i in range(len(y)) if self.predict(X[i]) == y[i])
        return correct / len(y)

split = int(0.8 * N)
X_train, X_test = X[:split], X[split:]
y_train, y_test = y[:split], y[split:]

print("\n=== Training Logistic Regression ===")
model = LogisticRegression(n_features=2, learning_rate=0.1)
model.fit(X_train, y_train, epochs=1000, print_every=200)

print(f"\nTrain accuracy: {model.accuracy(X_train, y_train):.4f}")
print(f"Test accuracy:  {model.accuracy(X_test, y_test):.4f}")
print(f"Weights: [{model.weights[0]:.4f}, {model.weights[1]:.4f}]")
print(f"Bias: {model.bias:.4f}")

第 3 步：从零实现混淆矩阵和指标 ​

python
class ClassificationMetrics:
    def __init__(self, y_true, y_pred):
        self.tp = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 1 and p == 1)
        self.tn = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 0 and p == 0)
        self.fp = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 0 and p == 1)
        self.fn = sum(1 for t, p in zip(y_true, y_pred) if t == 1 and p == 0)

    def accuracy(self):
        total = self.tp + self.tn + self.fp + self.fn
        return (self.tp + self.tn) / total if total > 0 else 0

    def precision(self):
        denom = self.tp + self.fp
        return self.tp / denom if denom > 0 else 0

    def recall(self):
        denom = self.tp + self.fn
        return self.tp / denom if denom > 0 else 0

    def f1(self):
        p = self.precision()
        r = self.recall()
        return 2 * p * r / (p + r) if (p + r) > 0 else 0

    def print_confusion_matrix(self):
        print(f"\n  Confusion Matrix:")
        print(f"                  Predicted")
        print(f"                  Pos   Neg")
        print(f"  Actual Pos     {self.tp:4d}  {self.fn:4d}")
        print(f"  Actual Neg     {self.fp:4d}  {self.tn:4d}")

    def print_report(self):
        self.print_confusion_matrix()
        print(f"\n  Accuracy:  {self.accuracy():.4f}")
        print(f"  Precision: {self.precision():.4f}")
        print(f"  Recall:    {self.recall():.4f}")
        print(f"  F1 Score:  {self.f1():.4f}")

y_pred_test = [model.predict(x) for x in X_test]
print("\n=== Classification Report (Test Set) ===")
metrics = ClassificationMetrics(y_test, y_pred_test)
metrics.print_report()

第 4 步：决策边界分析 ​

python
print("\n=== Decision Boundary ===")
w1, w2 = model.weights
b = model.bias
print(f"Decision boundary: {w1:.4f}*x1 + {w2:.4f}*x2 + {b:.4f} = 0")
if abs(w2) > 1e-10:
    print(f"Solved for x2:     x2 = {-w1/w2:.4f}*x1 + {-b/w2:.4f}")

print("\nSample predictions near the boundary:")
test_points = [
    [3.0, 3.0],
    [3.5, 3.5],
    [4.0, 4.0],
    [2.5, 2.5],
    [5.0, 5.0],
]
for point in test_points:
    prob = model.predict_proba(point)
    pred = model.predict(point)
    print(f"  [{point[0]}, {point[1]}] -> prob={prob:.4f}, class={pred}")

第 5 步：用 softmax 做多分类 ​

python
class SoftmaxRegression:
    def __init__(self, n_features, n_classes, learning_rate=0.01):
        self.n_features = n_features
        self.n_classes = n_classes
        self.lr = learning_rate
        self.weights = [[0.0] * n_features for _ in range(n_classes)]
        self.biases = [0.0] * n_classes

    def softmax(self, scores):
        max_score = max(scores)
        exp_scores = [math.exp(s - max_score) for s in scores]
        total = sum(exp_scores)
        return [e / total for e in exp_scores]

    def predict_proba(self, x):
        scores = [
            sum(self.weights[k][j] * x[j] for j in range(self.n_features)) + self.biases[k]
            for k in range(self.n_classes)
        ]
        return self.softmax(scores)

    def predict(self, x):
        probs = self.predict_proba(x)
        return probs.index(max(probs))

    def fit(self, X, y, epochs=1000, print_every=200):
        n = len(y)
        for epoch in range(epochs):
            grad_w = [[0.0] * self.n_features for _ in range(self.n_classes)]
            grad_b = [0.0] * self.n_classes
            total_loss = 0.0
            for i in range(n):
                probs = self.predict_proba(X[i])
                for k in range(self.n_classes):
                    target = 1.0 if y[i] == k else 0.0
                    error = probs[k] - target
                    for j in range(self.n_features):
                        grad_w[k][j] += error * X[i][j]
                    grad_b[k] += error
                true_prob = max(probs[y[i]], 1e-15)
                total_loss -= math.log(true_prob)
            for k in range(self.n_classes):
                for j in range(self.n_features):
                    self.weights[k][j] -= self.lr * (grad_w[k][j] / n)
                self.biases[k] -= self.lr * (grad_b[k] / n)
            if epoch % print_every == 0:
                print(f"  Epoch {epoch:4d} | Loss: {total_loss / n:.4f}")
        return self

    def accuracy(self, X, y):
        correct = sum(1 for i in range(len(y)) if self.predict(X[i]) == y[i])
        return correct / len(y)

random.seed(42)
X_3class = []
y_3class = []

centers = [(1, 1), (5, 1), (3, 5)]
for label, (cx, cy) in enumerate(centers):
    for _ in range(50):
        X_3class.append([random.gauss(cx, 0.8), random.gauss(cy, 0.8)])
        y_3class.append(label)

combined = list(zip(X_3class, y_3class))
random.shuffle(combined)
X_3class, y_3class = zip(*combined)
X_3class = list(X_3class)
y_3class = list(y_3class)

split_3 = int(0.8 * len(X_3class))
X_train_3 = X_3class[:split_3]
y_train_3 = y_3class[:split_3]
X_test_3 = X_3class[split_3:]
y_test_3 = y_3class[split_3:]

print("\n=== Multi-class Softmax Regression (3 classes) ===")
softmax_model = SoftmaxRegression(n_features=2, n_classes=3, learning_rate=0.1)
softmax_model.fit(X_train_3, y_train_3, epochs=1000, print_every=200)
print(f"\nTrain accuracy: {softmax_model.accuracy(X_train_3, y_train_3):.4f}")
print(f"Test accuracy:  {softmax_model.accuracy(X_test_3, y_test_3):.4f}")

print("\nSample predictions:")
for i in range(5):
    probs = softmax_model.predict_proba(X_test_3[i])
    pred = softmax_model.predict(X_test_3[i])
    print(f"  True: {y_test_3[i]}, Predicted: {pred}, Probs: [{', '.join(f'{p:.3f}' for p in probs)}]")

第 6 步：阈值调节 ​

python
print("\n=== Threshold Tuning ===")
print("Default threshold: 0.5. Adjusting the threshold trades precision for recall.\n")

thresholds = [0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7]
print(f"{'Threshold':>10} {'Accuracy':>10} {'Precision':>10} {'Recall':>10} {'F1':>10}")
print("-" * 52)

for t in thresholds:
    y_pred_t = [1 if model.predict_proba(x) >= t else 0 for x in X_test]
    m = ClassificationMetrics(y_test, y_pred_t)
    print(f"{t:>10.1f} {m.accuracy():>10.4f} {m.precision():>10.4f} {m.recall():>10.4f} {m.f1():>10.4f}")

实际使用 ​

现在用 scikit-learn 做同样的事。

python
from sklearn.linear_model import LogisticRegression as SklearnLR
from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score
from sklearn.metrics import confusion_matrix, classification_report
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np

np.random.seed(42)
X_0 = np.random.randn(100, 2) + [2, 2]
X_1 = np.random.randn(100, 2) + [5, 5]
X_sk = np.vstack([X_0, X_1])
y_sk = np.array([0] * 100 + [1] * 100)

X_tr, X_te, y_tr, y_te = train_test_split(X_sk, y_sk, test_size=0.2, random_state=42)

scaler = StandardScaler()
X_tr_sc = scaler.fit_transform(X_tr)
X_te_sc = scaler.transform(X_te)

lr = SklearnLR()
lr.fit(X_tr_sc, y_tr)
y_pred = lr.predict(X_te_sc)

print("=== Scikit-learn Logistic Regression ===")
print(f"Accuracy:  {accuracy_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"Precision: {precision_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"Recall:    {recall_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"F1:        {f1_score(y_te, y_pred):.4f}")
print(f"\nConfusion Matrix:\n{confusion_matrix(y_te, y_pred)}")
print(f"\nClassification Report:\n{classification_report(y_te, y_pred)}")

你的从零实现产出相同的决策边界和指标。scikit-learn 额外提供了求解器选项（liblinear、lbfgs、saga）、自动正则化、多分类策略（one-vs-rest、multinomial），以及数值稳定性优化。

拿去用 ​

本节课产出：

  • code/logistic_regression.py - 从零实现的带指标的逻辑回归

练习 ​

  1. 生成一个线性不可分的数据集（比如两个同心圆）。训练逻辑回归，观察它失败。然后加多项式特征（x1^2、x2^2、x1*x2）再训练。证明准确率提升了。
  2. 为 3 分类 softmax 模型实现一个多分类混淆矩阵。计算每个类的精确率和召回率。哪个类最难分？
  3. 从零画一条 ROC 曲线。对从 0 到 1 的 100 个阈值，计算真正例率和假正例率。用梯形法则算出 AUC（曲线下面积）。

关键术语 ​

术语大家怎么说它实际是什么
逻辑回归"用回归做分类"一个线性模型接 sigmoid 函数，输出类别概率
Sigmoid 函数"S 形曲线"函数 1/(1+e^(-z))，把任意实数映射到 (0, 1) 区间
二元交叉熵"对数损失"损失函数 -[y*log(p) + (1-y)*log(1-p)]，对自信的错误预测狠狠惩罚
决策边界"分界线"模型输出概率等于 0.5 的那个面，分开预测的各类
Softmax"多分类版 sigmoid"把一个分数向量转换成加起来等于 1 的概率的函数
精确率"选出的里有多少相关"TP / (TP + FP)，正预测里真正为正的比例
召回率"相关的里选出多少"TP / (TP + FN)，真正为正里模型正确识别的比例
F1 分数"平衡后的准确率"精确率和召回率的调和平均：2PR / (P+R)
混淆矩阵"错误拆解表"列出每对类的 TP、TN、FP、FN 计数的表格
阈值"分界点"模型预测为类别 1 的概率门槛（默认 0.5，可调）
one-hot 编码"给类别开二元列"把类别 k 表示成一个零向量，在第 k 位放 1
分类交叉熵"多分类对数损失"用 one-hot 标签把二元交叉熵扩展到 k 个类